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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5. Sea $f(x)=\ln \left(x^{2}-6 x+k\right)$. Hallar $k \in \mathbb{R}$ de modo que la pendiente de la recta tangente al grafico de $f$ en $x_{0}=4$ sea igual a 2.
Respuesta
Este el segundo tipo de ejercicio sobre recta tangente que te conté que te pueden tomar: Hallar una incógnita distinta de $x$. Si no te acordás de ésto andá a ver los videos de recta tangente. ¡Comencemos! Recordando lo visto en el curso primero buscamos la derivada de $f(x)$ y luego la evaluamos en $x_0 = 4$ para que la pendiente de la recta tangente sea igual a 2.
Reportar problema
La función es $f(x) = \ln(x^2 - 6x + k)$. Calculamos la derivada usando la regla de la cadena:
$ f'(x) = \frac{1}{x^2 - 6x + k} \cdot (x^2 - 6x + k)' $
$ f'(x) = \frac{1}{x^2 - 6x + k} \cdot (2x - 6) $
Ahora evaluamos la derivada en $x_0 = 4$:
$ f'(4) = \frac{1}{4^2 - 6 \cdot 4 + k} \cdot (2 \cdot 4 - 6) $
$ f'(4) = \frac{1}{16 - 24 + k} \cdot (8 - 6) $
$ f'(4) = \frac{1}{k - 8} \cdot 2 $
Queremos que la pendiente de la recta tangente sea igual a 2, es decir, que $f'(4) = 2$:
$ \frac{2}{k - 8} = 2 $
$ 2 = 2(k - 8) $
$ 2 = 2k - 16 $
$ 2 + 16 = 2k $
$ 18 = 2k $
$ k = \frac{18}{2} $
$ k = 9 $
Por lo tanto, el valor de $k$ que hace que la pendiente de la recta tangente al gráfico de $f(x)$ en $x_0 = 4$ sea igual a 2 es $k = 9$.